Придумайте паркет из равных

Математический паркет

Скачать:

ВложениеРазмер
matematicheskiy_parket.pptx1.16 МБ
Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Математический паркет Андриевский А . Андросова Е . Погудина С . Умурзакова А . 8 “ б ” класс, школа №43 Приморский район СПб

Морис Корнелис Эшер 1898—1972 Нидерландский художник-график. Известен прежде всего литографиями, гравюрами на дереве и металле, в которых он мастерски исследовал пластические аспекты понятий бесконечности и симметрии, а также особенности психологического восприятия сложных трёхмерных объектов.

Родился в Голландии в городе Леувардене

В доме, где родился Эшер , сейчас находится музей

Всемирная известность 1951 года Печатался в трёх популярных журналах того времени:

Ящерицы, изображенные голландским художником М. Эшером , образуют, как говорят математики, « п а р к е т». Каждая ящерица плотно прилегает к своим соседям без малейших зазоров, как плашки паркетного пола.

ПИФАГОРЕЙСКАЯ ШКОЛА Простейшие паркеты были открыты пифагорейцами около 2500 лет тому назад.

Математический паркет Паркетом называется заполнение плоскости многоугольниками, при котором любые два многоугольника либо имеют общую сторону, либо имеют общую вершину, либо не имеют общих точек. Паркет называется правильным , если он состоит из правильных многоугольников и вокруг каждой вершины правильные многоугольники расположены одним и тем же способом.(360 0 )

Правильные паркеты Сумма всех углов n-угольника равна 180°(n-2). Все углы правильного многоугольника равны; следовательно, каждый из них равен 180°(n-2)/ n . В каждой вершине паркета сходится целое число углов; поэтому число 2·180° должно быть целым кратным числа 180°(n-2)/ n . Разность n-2 может принимать лишь значения 1, 2 или 4; поэтому n может быть равно только 3, 4 или 6. Значит, можно получить паркеты, составленные из правильных треугольников, квадратов или правильных шестиугольников.

Паркет из правильных многоугольников Существуют следующие способы уложить паркет комбинациями правильных многоугольников: (3,12,12); (4,6,12); (6,6,6); (3,3,6,6) – два варианта паркета; (3,4,4,6) – четыре варианта; (3,3,3,4,4) – четыре варианта; (3,3,3,3,6); (3,3,3,3,3,3) (цифры в скобках – обозначения многоугольников, сходящихся в каждой вершине: 3 – правильный треугольник, 4 – квадрат, 6 – правильный шестиугольник, 12 – правильный двенадцатиугольник ). Некоторые варианты паркета : (4,8,8) (3,3,6,6) (4,6,12) (3,4,4,6)

Паркеты из неправильных многоугольников Легко покрыть плоскость параллелограммами. Можно замостить плоскость копиями Произвольного четырехугольника, необязательно выпуклого. Можно составить паркет из копий произвольного треугольника: из двух равных треугольников можно сложить параллелограмм, и покрыть плоскость копиями этого параллелограмма Плоскость можно покрыть копиями центрально-симметричного шестиугольника, или копиями пятиугольника с двумя параллельными сторонами. До сих пор не найдены все типы выпуклых пятиугольников, из которых складываются паркеты. Доказана теорема, утверждающая: «Нельзя сложить паркет из копий выпуклого семиугольника». Существуют паркеты из невыпуклых семиугольников.

Паркеты из одинаковых и правильных многоугольников Формула угла правильного n- угольника

Вывод : При создании паркета должно соблюдаться обязательное условие , плоскость, которую мы замощаем должна быть без просветов и двойных покрытий. Когда создаёшь паркет, нужно быть очень внимательным и не торопиться, стоит одну ячейку сдвинуть, испортим весь паркет.

Задача 1 . Покажите, как можно составить паркет из равных между собой копий: а) произвольного треугольника, б) произвольного (не обязательно выпуклого) четырехугольника, в) пятиугольника с двумя параллельными сторонами, г) центрально-симметричного (не обязательно выпуклого) шестиугольника.

Решение : а ) Из двух равных треугольников можно сложить параллелограмм, а параллелограммами уже легко покрыть плоскость. б) Если задан произвольный четырехугольник, то, повернув его на угол Пи( 180 0 ) вокруг середины одной из его сторон, получаем центрально-симметричный шестиугольник, составленный из двух копий заданного четырехугольника. Такими шестиугольниками можно покрыть плоскость (рис. 4 ). в) Приставляя друг к другу два экземпляра пятиугольника с двумя параллельными сторонами, снова получаем центрально-симметричный шестиугольник, копиями которого можно покрыть плоскость (рис. 5 ). Рис.4 Рис.5

Совокупные знания

Глава 3. ДЕВЯТЬ ЗАДАЧ

Данный сборник представляет собой одну из частей курса «Развивающая логика в 5 7 классах» «Задачи на разрезание». В математической литературе значения терминов «архимедов паркет», «полуправильный паркет» и «однородный паркет» варьируются. Существует два определения, приводящих к одному и тому же набору из 8 полуправильных паркетов на плоскости.

Множество прототипов (протомножество) P называется апериодическим, если оно реализуется в каких-то разбиениях плоскости, но ни одно из этих разбиений не является периодическим. Большое количество задач и головоломок связано с разбиением прямоугольников (или других связных фигур) на плитки из определённого заданного множества протоплиток.

Ромботришестиугольный паркет состоит из плиток трёх типов: равносторонний треугольник, квадрат и гексагон. Эти плитки располагаются вокруг каждой из вершин в следующем порядке: треугольник, квадрат, шестиугольник, квадрат. Такой порядок называется конфигурацией вершины паркета и записывается в форме 3.4.6.4. В неоднородных паркетах могут встречаться вершины с разными конфигурациями.

Первое, «локальное» определение, заключается в том, что вершинные конфигурации всех вершин должны совпадать. Иными словами, последовательности граней вокруг любых двух вершин паркета должны быть одинаковыми: одни и те же многоугольники должны идти в одном и том же (или в противоположном) порядке. Второе, «глобальное» определение, требует, чтобы для любых двух вершин паркета существовало преобразование симметрии (самосовмещение паркета), переводящее одну из них в другую.

Периодические неоднородные паркеты можно классифицировать по числу орбит вершин, рёбер и граней. Вышеприведённые примеры представляют собой четыре из двадцати 2-однородных паркетов. Разбиение T называется периодическим, если среди симметрий T существуют два параллельных переноса в непараллельных направлениях. В этом случае мозаику можно считать состоящей из повторений небольшого фрагмента, выложенного из элементов в узлах некоторой решётки.

Глава 3. ДЕВЯТЬ ЗАДАЧ

Первый пример апериодического множества плиток был найден Робертом Берджером в 1966 году и включал в себя 20 426плиток Вана. Плитки Вана представляют собой квадраты одного размера с окрашенными сторонами; при построении мозаики разрешено совмещать плитки лишь одноцветными сторонами и запрещено переворачивать плитки.

Роджер Пенроуз обнаружил апериодические протомножества, состоящие из двух плиток. На евклидовой плоскости существует лишь три правильных паркета и 8 полуправильных. Сами протоплитки при этом могут представлять собой связные объединения ячеек правильного паркета.

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. В этой статье мы будем рассматривать полимино – фигуры, составленные из одноклеточных квадратов так, что каждый квадрат примыкает хотя бы к одному соседнему, имеющему с ним общую сторону.

Математические головоломки и развлечения (fb2)

С тетрамино связано множество задач на составление из них разных фигур. Доказано, что сложить какой-либо прямоугольник из полного набора тетрамино невозможно. Поэтому любая фигура из полного набора тетрамино (см. рис.4) будет содержать клеток одного цвета на две больше, чем другого. Но любой прямоугольник, с чётным количеством клеток, содержит равное число чёрных и белых клеток. Поскольку каждая из 12 фигур включает в себя 5 квадратов, то прямоугольник должен быть площадью 60 единичных квадратов.

Для прямоугольника 5×12 существует 1010 решений, 4×15 — 368 решений, 3×20 — всего 2 решения (отличающихся вышеописанным поворотом). Еще одна интересная задача о пентамино — задача об утроении фигур пентамино (см. рис. 7). Эта задача была предложена профессором Калифорнийского университета Р.М.Робинсоном.

В этом случае число решений от 20 для Х до 9144 для Р-пентамино. Для работы нам потребуется комплект, состоящий из двенадцати деталей пентамино. Нужно из всех двенадцати фигурок пентамино отложить только те, из которых собирается данная картинка.

Таких задач в презентации четыре, но их количество всегда можно увеличить по мере необходимости. Начиная с пятой задачи, учащиеся сами должны выбрать фигурки, которые будут использованы для данной картинки.

Поскольку всего имеется 12 разных пентамино и каждая из этих фигур покрывает пять клеток, то вместе они покрывают 60 клеток. В задачах №7 и №8 решений может быть несколько, и можно устроить соревнования «кто первый найдет все возможные решения этих задач».

Математические мозаики

Учимся делать мозаики

Геометрические преобразования и паркеты

Среди огромного разнообразия орнаментов выделяются “паркеты” (мозаики). Паркетом называют заполнение плоскости одинаковыми фигурами (элементами паркета), которые не перекрывают друг друга и не оставляют на плоскости пустого пространства (иногда паркетом называют заполнение плоскости несколькими фигурами, например, правильными многоугольниками). Тетрадный лист в клеточку представляет собой простейший паркет. Элементом паркета здесь является квадрат. Элементом паркета является также равносторонний треугольник, правильный шестиугольник, произвольный параллелограмм, даже произвольный четырехугольник. Можно придумать сотни, тысячи разных элементов паркетов. Некоторые из них изображены на рис. 1.

Придуманы паркеты, у которых несколько элементов образуют фигуру, подобную элементу паркета. Примеры таких паркетов приведены на рис. 2.

На рис. 3 приведен элемент простого паркета, который разбит на рисунке справа на четыре одинаковые фигурки – элементы нового паркета. А на рис. 4 показаны элементы нового паркета, также состоящие из четырех таких фигурок.

рис.3.

На рис. 5 приведен паркет, элементами которого являются одинаковые пятиугольники с углами 90°, 120°, 60°, 240° и 30°, которые получились разбиением правильного шестиугольника. Из этих пятиугольников образованы фигуры. Для каждой из них проверьте, является ли она элементом паркета. Придумайте паркеты, элементы которых состоят из указанных пятиугольников.

Всего существует 17 видов симметрии сетчатых орнаментов. Они схематично показаны на рис. 6 и 7. Первые семь из них (рис. 6, а-ж) допускают создание интересных паркетов без прямолинейных контуров.

Паркеты являются прекрасным материалом для вовлечения учащихся в интересную, содержательную и поучительную деятельность при изучении некоторых тем школьного курса математики. В данном случае занимательность имеет не внешний, формальный характер, а побуждает учеников к выяснению сути изучаемого материала. Они с успехом могут быть использованы в 5-9-х классах на уроках и во внеурочное время. Замечательные паркеты придумывал знаменитый голландский художник Морис Эшер. Элементами паркета у него служили фигуры животных, птиц, рептилий.

Простейшим видом паркета является такой, в котором плоскость заполняется фигурами с помощью параллельного переноса.

Его общая схема приведена на рисунке 6,а. Такие паркеты полезно использовать при изучении параллельного переноса, привлекая и описание с помощью формул, т. е. алгебраический метод.

Задание 1.

На рис. 8 показан паркет, т. е. заполнение всей плоскости одинаковыми (равными) фигурами. Как видно из рисунка, этот паркет может быть совмещен сам с собой разными параллельными переносами, например, на три клетки вправо и на одну клетку вверх. Этот параллельный перенос задается парой чисел (3; 1). Данный паркет также совмещается сам с собой параллельным переносом, который характеризуется парой чисел (- 6; – 2), или парой (- 2; 3). Проверьте!

рис.8.

  • Напишите еще 8-10 пар чисел, задающих параллельные переносы, совмещающие этот паркет с самим собой.
  • Проделайте это для паркетов, которые можно получить параллельным переносом каждой из фигур, представленных на рис. 9.
  • Проанализируйте для каждого паркета полученные пары чисел. Введите для них операции сложения, вычитания и умножения на целое число. Укажите две пары чисел такие, что остальные будут получаться из них с помощью введенных операций.

Задание 2.

Смещая параллельным переносом фигуру (рис. 10, а, б), заполните ею всю плоскость. Охарактеризуйте каждый паркет парами чисел – координатами векторов, которые задают параллельные переносы предложенной фигуры. Найдите сумму, разность двух любых полученных векторов или произведение этих векторов на целое число. Какой вектор получите в каждом случае? Будет ли параллельный перенос, задаваемый этим вектором, совмещать паркет с самим собой?

Приведенные два задания аналогичны между собой, хотя сформулированы на разных языках. Выполняя их, ученики обнаруживают тесную связь между параллельными переносами и векторами. В этих заданиях ясно прослеживается возможность разложения каждого вектора полученного векторного пространства по двум базисным векторам. Задания дают более осязаемые и легче понимаемые примеры операций векторов, вектора и числа.

Задание 3 (для шестиклассников).

Найдите координаты точек (x; y) – концов отрезков в контуре нарисованной фигуры (рис. 11). Затем найдите координаты (X; Y) новых точек по правилу: X = – x – 3, Y = y – 4. Соедините полученные точки в том же порядке.

  • Какая фигура получилась?
  • Сместите данную и полученную фигуры на 7 единичных отрезков вправо или влево. Что у вас получилось?
  • Заполните данной фигурой плоскость, получив паркет.

Задание 4.

Постройте фигуру, симметричную данной (рис. 12) относительно прямой a, а затем сместите полученную фигуру вниз на четыре клетки.

Заполните предложенной фигурой плоскость, получив паркет.

Фигуры на рис. 11 и 12 являются элементами паркета, общая схема которого показана на рис. 6 (б).

Задание 5.

На рис. 13 показано заполнение плоскости фигурой, дающее паркет, общая схема которого показана на рис. 6,в. Определите центры симметрии этого паркета. Продолжите заполнение плоскости данной фигурой.

Задание 6.

Постройте фигуру, симметричную данной относительно каждой из двух отмеченных точек (рис. 14). Заполните данной фигурой плоскость.

Задание 7.

Для каждой узловой точки фигуры, изображенной на рис. 14, найдите ее координаты (x; y) и постройте в той же системе точки с координатами (X; Y), найденными по формулам: X = – x – 6, Y = – y + 4. Соедините полученные точки в том же порядке. Что у вас получилось?

Задание 8.

  • Укажите преобразования (одно или два), которые одну из фигур, представленных на рис. 15, переводят в другую.
  • Введите систему координат и опишите в координатах одно из преобразований, совмещающее данный паркет с собой.
  • Продолжите заполнение плоскости предложенной фигурой.

Задание 9.

  • На каждом из рис. 16-18 укажите центры поворотов, переводящих одну фигуру в другую.
  • Заполните плоскость предложенными фигурами, получив паркеты видов E, F и G (рис. 6).
  • Найдите центры симметрии полученных паркетов, если они есть.

Задание 10.

Каждой из фигурок на рис. 19 заполните плоскость, получив паркет. Для этого скопируйте фигурки на кальку.

Задание 11.

Сравните фигурки на рис. 20. Скопируйте их на кальку и заполните плоскость, получив паркет.

Задание 12.

На рис. 21-36 представлены паркеты, придуманные автором (А. Цукарем, прим.). Изучите их строение и определите вид. Постройте многоугольник, равновеликий элементу паркета.

рис.21.

рис.22.

рис.23.

рис.24.

рис.25.

рис.26.

рис.27.

рис.28.

рис.29.

рис.30.

рис.31.

рис.32.

рис.33.

рис.34.

рис.35.

рис.36.

Приведенные паркеты можно использовать разнообразно. В 5-6-х классах полезно предложить ученикам фигурку – элемент паркета, увеличенный и вырезанный из картона, с тем, чтобы они заполнили ею плоскость. Это способствует формированию у школьников геометрического видения.

При изучении координат и векторов используются задания, аналогичные приведенным выше. И, конечно, они естественно применимы при изучении геометрических преобразований.

Паркеты также можно использовать при изучении темы “Площади плоских фигур” для иллюстрации идеи, состоящей в том, что за единицу площади может быть выбрана произвольная (квадрируемая) фигура, например, элемент паркета, а также для нахождения многоугольника, указанного в задании 12.

Для паркета, изображенного на рис. 21, площадь фигурки (пеликана) равна площади параллелограмма с вершинами в точках, являющихся глазами четырех соседних птиц. Для остальных фигур такие многоугольники находятся без большого труда.

В заключение приведем паркет (рис. 37), в котором использованы три различные фигурки. Он получен из паркета, изображенного на рис. 33, заменой фигурок собачек новыми фигурками. Площади всех фигурок паркета равны.

Автор: А. Цукарь, Новосибирск

Бесплатные почтовые рассылки по саморазвитию.
Уже подписалось более 17 тысяч человек.

Придумайте паркет из равных

Паркеты

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Введение.

В последнее время использование мотивов различных паркетов в одежде, аксессуарах, дизайне жилища, строительстве зданий является последним «писком» моды. Математическая теория паркетов имеет свое практическое применение: знание её основ будет полезно дизайнерам, строителям, людям, увлекающимся народными ремёслами. Поэтому актуальность данной работы не вызывает сомнения.

С паркетами мы встречаемся в повседневной жизни. Тетрадный лист в клеточку представляет собой простейший паркет. Элементом паркета здесь является квадрат. Можно придумать сотни, тысячи разных элементов паркета.

Гипотеза: Можно ли составить паркет если знать основные фигуры из которых он составит.

Цель: Определить какие основные геометрические фигуры используются при составлении паркета и разработать образец паркета со своим рисунком

Задачи:

– Подбор и изучение необходимой для исследования литературы.

– Рассмотреть задачи Пенроуза о паркете.

– Определить набор фигур для оформления паркетов.

– Разработать собственный паркетный узор.

Основная часть

2.1. Историческая справка

Долгая история художественного паркета, подарившая мировой культуре многочисленные уникальные шедевры, знала спады и подъемы. В XVII-XIX веках в мире нe было таких разнообразных и высокохудожественных полов, кaк в России. Сейчас этo изысканное ремесло переживает очередной расцвет. Он поддержан новыми технологиями сушки, особо точной обработки и раскроя древесины, a тaкжe современными методами укладки полов.

“Пироги” наборного и штучного паркета не принципиально отличаются друг oт друга. Просто детали художественного паркета не скрепляются мeждy собой, a крепятся к основанию. Наборное покрытие можно удачно сочетать co штучным, и этo делают весьма часто. Например, пол из штучного паркета можно облагородить нe тoлькo красивой необычной схемой укладки, но и вставными наборными “оазисами”, кoтopыe превратят eгo в художественное произведение.

2.2. Понятие паркета

Советский энциклопедический словарь дает такое определение паркета: паркет (франц. parquet), небольшие древесные, строганные планки (клепки) для покрытия пола. Паркет изготавливают преимущественно из твердых пород дерева, для художественного паркета используют ценные породы. Различают несколько видов паркета: штучный, наборный (мозаичный), щитовой, паркетные доски.

В нашем проекте будем использовать другое определение паркета:

Парке́т или замощение — разбиение плоскости многоугольниками (или пространства многогранниками) без пробелов и перекрытий. Паркеты иначе называются замощениями, мозаиками, разбиениями плоскости, паркетажами.

Паркетом называют заполнение плоскости одинаковыми фигурами (элементами паркета), которые не перекрывают друг друга и не оставляют на плоскости пустого пространства (иногда паркетом называют заполнение плоскости несколькими фигурами, например, правильными многоугольниками).

2.3.Паркеты из правильных многоугольников

Первый вопрос, который нас интересует и который легко решается, следующий: из каких правильных выпуклых многоугольников можно составить паркет? Ответ на этот вопрос можно найти в задачах о паркетах Пенроуза.

В математике задача сплошного заполнения плоскости многоугольниками без пробелов и перекрытий называется паркетами. Еще древним грекам было известно, что эта задача легко решается при покрытии плоскости правильными треугольниками, квадратами и шестиугольниками.

Значительно более сложным развитием этой задачи было условие, чтобы структура паркета, составленного из нескольких видов многоугольников и полностью покрывающего плоскость, была не совсем “правильной” или “почти” периодической. Долгое время считалось, что эта задача не имеет решения. Однако в 60-х годах прошлого столетия она все же была решена, но для этого понадобился набор из тысяч многоугольников различных видов. Шаг за шагом число видов удавалось уменьшить, и, наконец, в середине 1970-х годов профессор Оксфордского университета Роджер Пенроуз решил задачу, используя всего два вида ромбов, заполнения плоскости ромбами с острыми углами в 72 и 36° . Их еще называют “толстыми” и “худыми” ромбами.

Рисунок.1. Фотография Роджера Пенроуза и паркет, составленный из ромбов с острыми углами в 72 и 36°

Для получения непериодической картины при укладывании ромбов следует придерживаться некоторых нетривиальных правил их сочетания. Оказалось, что эта простая с виду структура обладает очень интересными свойствами. Например, если взять отношение числа тонких ромбов к числу толстых, то оно оказывается всегда равно так называемому “золотому” числу -1,618. Поскольку это число “не точное”, а, как говорят математики, иррациональное, то и структура получается не периодической, а почти периодической. Более того, это число определяет соотношение между отрезками внутри десятиугольников, образующих пятиконечную звезду, – пентограмму, которая считается геометрической фигурой с идеальными пропорциями. Обратите внимание: десятиугольники имеют одинаковую ориентацию, что согласовывает и определяет расположение ромбов, из которых составлена мозаика Пенроуза. Поразительно, что это чисто геометрическое построение оказалось самой подходящей математической моделью для описания открытых в 1984 году квазикристаллов.

Выясним, из каких ещё правильных многоугольников можно составить паркет?

Можно ли замостить плоскость правильными пятиугольниками?

Гео­метрические фигуры могут «встретиться» в вершине паркета только тогда, когда сумма их углов составляет 360 градусов, иначе они не сомкнуться вокруг вершины или «нале­зут» друг на друга).

Итак, главное условие, необходимое для построения паркетов:

Сумма углов многоугольников в узле паркета должна равняться 360 º

Пусть в каждой точке плоскости сходятся m одинаковых правильных n-угольников, то должно выполняться равенство:

m*180º*(n-2)/n=360º. (величина угла правильного n-угольника равна 180º*(n-2)/n)

После преобразований получим:

m=2*n/(n-2).

Если n=3, m=6 (6 треугольников в узле).

Если n=4, m=4 (4 четырёхугольника в узле).

Если n=5, m=3,333333… Но m не может быть дробным числом, число многоугольников должно быть натуральное.

Значит, пятиугольниками заполнить плоскость нельзя.

Если n=6, m=3 (шестиугольника)

Для п ≥ 7 не существует правильных многоугольников, для которых бы выполнялось главное условие. Значит, паркет из этих многоугольников ( п > 7; 8; 9… ) построить нельзя!

Можно сделать вывод: паркет можно построить из правильных треугольников, правильных шестиугольников, правильных четырехугольников.

На основе этих 3 правильных многоугольников можно составить различные правильные паркеты.

2.4. Паркеты, составленные из правильных многоугольников разного вида

Паркет на­зывают правильным, если он составлен из равных правильных многоугольников.

Среди правильных многоугольников одного и того же периметра, используемых для по­строения паркета, наибольшей площадью обладает шестиугольник. В природе этот факт находит отражение в форме пчелиных сот. Они похожи на паркеты, составленные из правильных шести угольников, посколь­ку пчелы, строя соты, инстинктивно стара­ются сделать их как можно более вмести­тельными и израсходовать при этом как можно меньше воска

Паркетов, состоящих из правильных многоугольников разного вида, до­вольно много – 11, и все они очень красивы.

Эти паркеты составляются так, что­бы вокруг каждой вершины правиль­ные многоугольники располагались в одном и том же порядке. Такие парке­ты называют полуправильными.

Рис.2. правильный паркет Рис.3. Полуправильный паркет

2.5.Геометрический паркет на сферической поверхности и торе

Геометрический паркет встречается не только на плоскости. Примером паркета на поверхности сферы может являться обычный футбольный мяч. Паркет состоит из 12 пятигранников и 20 шестигранников.

Рис.4. Футбольный мяч

В развернутом виде этот паркет представим в следующем виде.

Рис.5. Развертка футбольного мяча.

Тор – поверхность, полученная вращением окружности относительно прямой, лежащей в плоскости этой окружности и не имеющей с ней общих точек.

Рис.6. Пример паркета на торе.

Разбиение поверхности на повторяющийся узор геометрических фигур – тесселяция, от греческого tessere, «четырехугольник» – был знаком мастерам многих древних культур, от арабской до индийской и китайской. Именно мозаики испанской Альгамбры вдохновили Эшера на создание собственного художественного стиля. Сегодня тесселяция используется в видеоиграх, позволяя создавать детализированную компьютерную графику. Ну а математики называют такие структуры просто паркетами, решая самые необычные задачи по замощению поверхностей без промежутков.

Рис.7. Пример тесселяции с помощью треугольников.

2.6. Паркеты, составленные из других фигур

Наиболее яркими примерами паркетов являются паркеты голландского художника – математика Мориса Эшера. Элементами паркета у него служили фигуры животных, птиц, рептилий.

Рис.8. Картины Мориса Эшера

Каким же воображением нужно обладать, чтобы создать столь своеобразные и неповторимые произведения.

Этапы разработки фрагмента паркетного узора

Очень интересные паркеты можно получить, если на исходных фигурах имеется рисунок. После рассмотрения различных паркетных узоров мы выделили следующие этапы их разработки:

Выбрать простую плоскую фигуру, из которой можно получить паркет. (например квадрат)

вырезав из нее кусочек и обязательно добавляем его с противоположной стороны. (или наоборот)

Повторяем эту операцию необходимое количество раз.

Рис.9. Пример разработки паркета.

Заключение

Проведённое исследование показало, что в последнее время оформлению паркета уделяется все больше внимания. И не только в смысле использования различных пород древесины. Хотелось бы заметить, что паркет, как напольное покрытие, недаром пользуется повышенным спросом. Красота настоящего дерева, его неповторимый рисунок и долговечность всегда будут считаться элементом особого шика, а стиль, диктуемый паркетом, сохранится на века.

Однако как показывают поэлементные разборы паркетных узоров, в основе всегда лежит плоская геометрическая фигура чаще всего квадрат, ромб, прямоугольник, которые видоизменяются с помощью параллельных сдвигов сторон фигуры.

Список литературы

Скопец З.А. Геометрические миниатюры. М.: 1990

Глейзер Г.И. История математики в школе. М.: 1982

Ван-дер-Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. М.: 1959

Васильев Н.Б. и др. Математические соревнования. Геометрия. – М.: Наука, 1974, с. 15 /Библиотечка физико-математической школы, выпуск 4.

Доморяд А.П. Математические игры и развлечения. – М.; 1961.

Журнал //Квант. 1979. – № 2. – С.9; 1980. – № 2. – С.25; 1986 – № 8 – С 3* 1987. – № 6. – С.27; 1987. – № 11. – С.21; 1989. – № 11. – С.57.

Журнал //Математика в школе. 1967. – № 3. – С.75; 1986. № 1. – С.59;

Заславский А. Паркеты и разрезания //Квант. – 1999. – № 2. – С.32.

Кокстер Г.С.М. Введение в геометрию. – М.- Наука, 1966, с. 100.

Смирнова И.М. В мире многогранников. – М.: Просвещение, 1995.

Классические паркетные узоры

Основная фигура для паркета прямоугольник

Основная фигура для паркета прямоугольник у которого одна сторона в четыре раза меньше второй

Основная фигура для паркета параллелограмм

Основная фигура для паркета прямоугольник у которого одна сторона в четыре раза меньше второй

Основная фигура для паркета прямоугольник

Основная фигура для паркета прямоугольник

Основная фигура для паркета квадрат

Основная фигура для паркета правильный шестиугольник

Основная фигура для паркета правильный треугольник

Основой для классических паркетных узоров являются прямоугольник, параллелограмм, квадрат, правильные шести и трёх угольники

Примеры полуправильных паркетов

Геометрические паркеты

Паркет (или мозаика) – бесконечное семейство многоугольников, покрывающее плоскость без просветов и двойных покрытий. Иногда паркетом называют покрытие плоскости правильными многоугольниками, при котором два многоугольника имеют либо общую сторону, либо общую вершину, либо совсем не имеют общих точек; но мы будем рассматривать как правильные, так и неправильные многоугольники.
Итак, какими же многоугольниками можно замостить плоскость?

Паркеты из одинаковых правильных многоугольников

Сумма всех углов n-угольника равна 180°(n-2). Все углы правильного многоугольника равны; следовательно, каждый из них равен 180°(n-2)/n. В каждой вершине паркета сходится целое число углов; поэтому число 2·180° должно быть целым кратным числа 180°(n-2)/n. Преобразуем отношение этих чисел:

Разность n-2 может принимать лишь значения 1, 2 или 4; поэтому n может быть равно только 3, 4 или 6. Значит, можно получить паркеты, составленные из правильных треугольников, квадратов или правильных шестиугольников.

Паркеты из разных правильных многоугольников

Сначала выясним, какое количество различных правильных многоугольников (с одинаковыми длинами сторон) может находиться вокруг каждой точки. Величина угла правильного многоугольника должна находиться в интервале от 60° до 180° (не включая); следовательно, число многоугольников, находящихся в окрестности точки, должно быть больше 2 (360°/180°) и не может превышать 6 (360°/60°).

Можно показать, что существуют следующие способы уложить паркет комбинациями правильных многоугольников: (3,12,12); (4,6,12); (6,6,6); (3,3,6,6) – два варианта паркета; (3,4,4,6) – четыре варианта; (3,3,3,4,4) – четыре варианта; (3,3,3,3,6); (3,3,3,3,3,3) (цифры в скобках – обозначения многоугольников, сходящихся в каждой вершине: 3 – правильный треугольник, 4 – квадрат, 6 – правильный шестиугольник, 12 – правильный двенадцатиугольник). Некоторые варианты паркета показаны на следующих иллюстрациях:

Остальные варианты паркетов, а также доказательство того, что не существует других вариантов укладки паркета из правильных многоугольников (при условии, что любые два многоугольника в паркете имеют либо общую сторону, либо общую вершину, либо совсем не имеют общих точек), см. в дополнительных статьях.

Паркеты из неправильных многоугольников

Легко покрыть плоскость параллелограммами:

Вообще можно замостить плоскость копиями произвольного четырехугольника, необязательно выпуклого:

Можно составить паркет из копий произвольного треугольника: из двух равных треугольников можно сложить параллелограмм, и покрыть плоскость копиями этого параллелограмма.

Еще плоскость можно покрыть копиями центрально-симметричного шестиугольника, или копиями пятиугольника с двумя параллельными сторонами. До сих пор не найдены все типы выпуклых пятиугольников, из которых складываются паркеты. Зато доказана теорема, утверждающая: «Нельзя сложить паркет из копий выпуклого семиугольника». В то же время существуют паркеты из невыпуклых семиугольников:

Паркеты из произвольных фигур

Некоторые определения паркета не ограничиваются многоугольниками; в этом случае паркетом называется покрытие плоскости без пропусков и перекрытий заданными фигурами (в частном случае – многоугольниками, правильными или неправильными, выпуклыми или невыпуклыми). В таком случае даже для паркетов из многоугольников может не соблюдаться требование “два многоугольника должны иметь общую вершину, общую сторону или совсем не иметь общих точек”; кроме того, появляется множество разнообразных паркетов, состоящих не из многоугольников, а из криволинейных фигур. Рассмотрим способы построения нового паркета, исходя из этого “расширенного” определения. Итак, как нарисовать паркет? (некоторые из возможных способов)

Способ первый . Берем некоторую сетку (уже известный нам паркет) – из правильных треугольников, шестиугольников, квадратов, или из произвольных многоугольников, и выполняем преобразования: сжатие/растяжение, замена прямолинейных отрезков кривыми с началом и концом в тех же точках, что и у отрезков.
Пример: паркеты, полученные заменой отрезков “квадратной” сетки некоторыми кривыми или ломаными.

Способ второй . Объединяем отдельные элементы уже существующих паркетов. Примеры: паркеты, полученные в результате объединения элементов квадратной сетки:

Паркет, каждый элемент которого получен в результате объединения пяти правильных треугольников:

Способ третий . Берем существующую сетку и дополняем ее новыми линиями. Получаем разбиение плоскости на фигуры, которые затем можно по-новому объединить. В частном случае – накладываем друг на друга две (или более) сетки уже известных паркетов, смещая или поворачивая одну сетку относительно другой; фигуры, образовавшиеся при пересечении линий, считаем элементами паркета.
Пример (разбиения сетки из греческих крестов):

Способ четвертый . Выбираем некоторую кривую или ломаную и начинаем ее переносить на некоторый вектор, поворачивать, отражать. получившиеся кривые или ломаные размещаем на плоскости таким образом, чтобы они образовали замкнутые контуры (которые в дальнейшем будут рассматриваться как элементы паркета). Если рассматривать только незамкнутые кривые и ломаные, паркеты будут напоминать полученные способом №1.
Для получения следующего паркета была взята дуга спирали, три раза повернута на 90°, а затем к получившейся фигуре был применен параллельный перенос.

А вот паркеты, полученные с помощью параллельного переноса звездчатых многоугольников:

Совмещая вершины звездчатых многоугольников, получаем паркеты, состоящие из правильных восьмиугольников, равнобедренных прямоугольных треугольников, а также из невыпуклых 16-угольников, напоминающих крест. На первом рисунке есть еще один элемент – выпуклый четырехугольник.

Как построить циркулем и линейкой довольно точно 7-ми угольник (см.)?

7-ми угольник правильный, линейка идеальная, не имеет ширины, засечек и делений. Погрешность построения около 0,2%.

Это подробно описано в Википедии, вот рисунок оттуда:

Другие интересные вопросы и ответы

Это настоящая фотография или фейк? Как она была сделана?

Лол. Так забавно быть единственным, кто даст верный ответ. Данная фотография – фейк. И не из-за таблички, она-то как раз настоящая. Да и сама фотография в целом, но молодой человек справа – фейк. Это “Пенис Детров” так же известный как “Глад Валакас”. Полагаю что данная фотография (как говорит сам Валакас – фотолуп) изначально была отправлена в его сообщество Вконтакте, где публикуются фотожабы с ним же. Данный фотолуп сделан из-за того, что Валакас частенько делает рофл-звонки (пранки) в штабы Нэвального в разных городах.

Вот вам оригинал фотографии:

Александр Засовин 42

,,Как я счастлив. -говорит Тильтиль в финале. Составьте монолог на эту тему от лица Тильтиля и Митиля.

– Да ну на?
– Ну да на!

Как составить паркет из семиугольников? Желательно фото

Как правильно выбрать паркетную доску?

Многие покупают паркетную доску именно с тем расчетом, что в будущем ее можно будет реставрировать.

При этом совершенно не учитывается, что реставрация плавающего пола очень сложна и после нее могут появиться так называемые “волны”. Кроме того, даже самый дорогой паркетный пол во время шлифовки потеряет свой верхний слой (а значит, краску и рельеф, созданный в процессе браширования) и будет выглядеть как самый дешевый.

В результате, намного проще и экономнее будет купить новую паркетную доску.

Чтобы правильно выбрать натуральное напольное покрытие, надо знать его основные разновидности, достоинства и недостатки. Рассмотрим их ниже.

Паркетная доска, покрытая маслом:

  • выглядит более натурально, а также более приятна на ощупь;
  • более влагостойкая;
  • лучше (чем доска под лаком) переносит перепады температур;
  • появившиеся на ней в ходе эксплуатации царапины можно легко затереть;
  • ее можно реставрировать локально;
  • она более пригодна для использования с теплыми полами.
  • быстро впитывает грязь, поэтому ее нежелательно использовать там, где люди ходят в обуви;
  • требует реставрации каждые несколько лет.

Паркетная доска, покрытая лаком:

  • имеет более низкую стоимость;
  • является в 1,5-3 раза более износостойкой, нежели доска под маслом;
  • при необходимости лак с такой доски можно снять и нанести масло, но не наоборот;
  • при реставрации такую доску нужно шлифовать целиком;
  • она прослужит дольше (в среднем 6-10 лет).
  • убрать или сделать менее заметными царапины невозможно;
  • доска под лаком менее влагостойкая. К тому же, лак при контакте с водой быстрее разрушается.;
  • плохо переносит перепады температур.

Отметим, что наилучшим вариантом для квартиры будет термообработанная паркетная доска под маслом.

Если вас интересует дизайн, то паркетная доска с радиальным распилом не имеет перепадов по цвету, сердцевидных лучей, сучков, заболони, а потому внешне сильно напоминает линолеум (с одинаковым “рисунком” дерева”) где все плашки изображены максимально похожими и ровно уложенными.

Парадоксально, но производство покрытия, которое смотрится крайне дешево, обходится изготовителям довольно дорого. Это связано с большим расходом дерева, ведь все плашки, имеющие какой-либо узор или сучки, приходится выкидывать. А также с низким спросом потребителей на доску с радиальным распилом.

Наибольшим спросом пользуется паркетная доска, во время изготовления которой использовались тангенциальные распилы. Такая доска имеет выраженный “рисунок” дерева, а также пеструю цветовую гамму, за счет чего все плашки такой паркетной доски будут максимально разными. Такое напольное покрытие не только выглядит более привлекательно, но и стоит дешевле.

Чтобы не ошибиться с выбором паркетной доски, советуем вам обратиться за консультацией в любой специализированный магазин напольных покрытий в вашем городе.

Читайте также:  Битум паркет
Ссылка на основную публикацию