Паркет из фигур тетрамино

Материал для занятий кружка “Логическая математика” по теме “Пентамино”

Презентация к уроку

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Полимино

В этой статье мы будем рассматривать полимино – фигуры, составленные из одноклеточных квадратов так, что каждый квадрат примыкает хотя бы к одному соседнему, имеющему с ним общую сторону.

Задачи с полимино очень характерны для комбинаторной геометрии – раздела математики, занимающегося вопросами взаимного расположения и комбинирования геометрических фигур. Это очень красивая, но еще почти не разработанная ветвь математики, поскольку общих методов в ней, по-видимому, очень мало, а известные ныне методы настолько примитивны, что не поддаются усовершенствованию. Многие встречающиеся в практике важные инженерные задачи – в первую очередь те, которые связаны в том или ином смысле с оптимальным расположением фигур заданной формы, – по существу относятся к комбинаторной геометрии.

В последующих комбинаторных задачах предполагается, что полимино можно вращать (то есть поворачивать на 90, 180 или 270) и зеркально отражать (переворачивать), не меняя формы самих фигур.

Домино


Рис. 1

Домино состоит из двух квадратов и может иметь лишь одну форму – форму прямоугольника размером 1×2 (см. рис. 1). Первая связанная с домино задача, вероятно, многим знакома: даны шахматная доска, из которой вырезана пара противоположных угловых клеток, и коробка домино, каждое из которых покрывает ровно две клетки шахматной доски (см. рис. 2). Возможно ли целиком покрыть доску с помощью 31 кости домино (без свободных клеток и наложений)? Ответ на этот вопрос гласит: «НЕТ» и имеет замечательное доказательство. Шахматная доска содержит 64 чередующиеся клетки белой и черной раскраски (имеется в виду обычная шахматная раскраска доски). Каждая положенная на такую доску и покрывающая две соседние клетки кость домино покроет одно белое и одно черное поле, а n костей домино – n белых и n черных полей, т.е. поровну и тех и других. Но изображенная на рисунке шахматная доска содержит больше черных клеток, чем белых, и потому ее нельзя покрыть костями домино. Этот результат есть типичная теорема комбинаторной геометрии.


Рис. 2

Тримино


Рис. 3

Тримино (или триомино) — полимино третьего порядка, то есть многоугольник, полученный путём объединения трёх равных квадратов, соединённых сторонами. Если повороты и зеркальные отражения не считать различными формами, то существует только две «свободных» формы тримино (см. рис.3): прямое (I-образное) и угловое (L-образное).

Тетрамино


Рис. 4

С тетрамино связано множество задач на составление из них разных фигур. Доказано, что сложить какой-либо прямоугольник из полного набора тетрамино невозможно. Доказательство использует раскраску в шахматном порядке. Все тетрамино, кроме Т-образного, содержат 2 чёрные и 2 белые клетки, а Т-образное тетрамино — 3 клетки одного цвета и 1 клетку другого. Поэтому любая фигура из полного набора тетрамино (см. рис.4) будет содержать клеток одного цвета на две больше, чем другого. Но любой прямоугольник, с чётным количеством клеток, содержит равное число чёрных и белых клеток.

Пентамино


Рис. 5

Полимино, покрывающее пять клеток шахматной доски, называются пентамино. Существует 12 видов пентамино, которые можно обозначить прописными латинскими буквами, как указано на рисунке (см. рис. 5). В качестве приема, позволяющего легко запомнить эти наименования, укажем, что соответствующие буквы составляют конец латинского алфавита (TUVWXYZ) и входят в имя FiLiPiNo. Поскольку всего имеется 12 разных пентамино и каждая из этих фигур покрывает пять клеток, то вместе они покрывают 60 клеток.

Самая распространённая задача о пентамино — сложить из всех фигурок, без перекрытий и зазоров, прямоугольник. Поскольку каждая из 12 фигур включает в себя 5 квадратов, то прямоугольник должен быть площадью 60 единичных квадратов. Возможны прямоугольники 6×10, 5×12, 4×15 и 3×20 (см. рис. 6).


Рис. 6

Для случая 6×10 эту задачу впервые решил в 1965 году Джон Флетчер. Существует ровно 2339 различных укладок пентамино в прямоугольник 6×10, не считая поворотов и отражений целого прямоугольника, но считая повороты и отражения его частей (иногда внутри прямоугольника образуется симметричная комбинация фигур, поворачивая которую можно получить дополнительные решения).

Для прямоугольника 5×12 существует 1010 решений, 4×15 — 368 решений, 3×20 — всего 2 решения (отличающихся вышеописанным поворотом). В частности, существует 16 способов сложить два прямоугольника 5×6, из которых можно составить как прямоугольник 6×10, так и 5×12.

Еще одна интересная задача о пентамино – задача об утроении фигур пентамино (см. рис. 7). Эта задача была предложена профессором Калифорнийского университета Р.М.Робинсоном. Выбрав одну из 12 фигур пентамино, необходимо построить из каких-либо 9 из 11 оставшихся пентамино фигуру, подобную выбранной, но в 3 раза бо́льшей длины и ширины. Решение существует для любого из 12 пентамино, причём не единственное (от 15 решений для Х до 497 для Р). Существует вариант этой задачи, в котором для построения утроенной фигуры разрешается использовать также и саму исходную фигуру. В этом случае число решений от 20 для Х до 9144 для Р-пентамино.


Рис. 7

Комментарии к презентации «Пентамино»

В этой работе я предлагаю несколько заданий с использованием фигур пентамино, которые можно использовать и для самых первых занятий с этой головоломкой, и для более подготовленных ребят. Они подойдут и для начальной школы, и для учащихся 5-7 классов (в зависимости от уровня обучающихся).

Для работы нам потребуется комплект, состоящий из двенадцати деталей пентамино. Его очень легко сделать самим на уроке или дома. На листе в клетку нужно нарисовать фигуры так, чтобы каждая состояла из пяти квадратов со стороной 1см. Затем следует приклеить лист в клетку на картон и вырезать по контуру получившиеся фигурки. При желании их можно раскрасить цветными карандашами или фломастерами. Пентамино готово.

Начинается презентация с самых простых заданий. Нужно из всех двенадцати фигурок пентамино отложить только те, из которых собирается данная картинка. Фигурки в презентации появляются по щелчку по одной, чтобы было удобно их находить.

На следующем слайде представлена картинка, которую нужно собрать. А на третьем слайде предложен вариант ответа. Таких задач в презентации четыре, но их количество всегда можно увеличить по мере необходимости.

Начиная с пятой задачи, учащиеся сами должны выбрать фигурки, которые будут использованы для данной картинки. В задаче №5 для «собачки» потребуются три фигурки пентамино.

В задаче №6 ребята должны не только собрать данные картинки, но и попытаться объяснить, почему может быть представлено только единственное решение этих задач.

В задачах №7 и №8 решений может быть несколько, и можно устроить соревнования «кто первый найдет все возможные решения этих задач».

Начиная с задачи №9, решений становится гораздо больше. Найти все решения на уроке не получится. Эти задачи можно предложить как вариант домашнего задания или предложить найти решения, разбив класс на группы.

В задачах №13 и №14 при решении используются все двенадцать фигур пентамино. Это уже достаточно сложные задания. С ними могут справиться не все учащиеся 5-6 классов. Поэтому те ребята, которые нашли решения этих задач, должны быть поощрены.

Очень интересный результат можно получить, предложив ребятам самим придумать различные картинки, составленные из фигур пентамино. Если это начальные классы, то нужно оговорить, что можно использовать не все фигуры сразу. В более старших классах учащиеся могут использовать весь комплект. Здесь следует напомнить, что каждая фигурка встречается ровно однажды и нельзя использовать какие-то детали более одного раза.

И вообще, очень трудно охватить такой огромный материал в одной презентации. Я предложила только малую толику того, что может быть придумано из пентамино. Творите, и результат превзойдет все ваши самые смелые ожидания. Ваши дети очень талантливы, и нужно только направить их мысль в нужную сторону. А там…

Паркеты из полимино

Задача

Полимино (n-мино) — это плоские геометрические фигуры, образованные путем соединения нескольких одноклеточных квадратов по их сторонам. В зависимости от того, из какого количества квадратов полимино состоит, оно может называться по-разному: мономино (n = 1), домино (n = 2), тримино (n = 3), тетрамино (n = 4) и так далее (рис. 1).

Рис. 1. Все возможные (с точностью до вращения и переворачивания) полимино, состоящие не больше чем из четырех квадратов

а) Придумайте три различных замощения плоскости фигурками пентамино, изображёнными слева на рис. 2.

б) Докажите, что существует бесконечно много различных замощений плоскости фигурками нонамино (9-мино), изображенными в центре на рис. 2.

в) Приведите пример фигурки гептамино (7-мино), отличающейся от изображенной справа на рис. 2, копиями которой нельзя замостить плоскость без пробелов и наложений (считаем, что фигурки можно вращать и переворачивать).

Рис. 2. Слева — пентамино, в центре — нонамино, справа — гептамино

Подсказка 1

В пункте а) попробуйте сложить из фигурок пентамино полосу, бесконечную в обе стороны, копиями которой потом можно было бы покрыть плоскость. То же относится к фигуркам нонамино в пункте б).

В пункте в) придумайте такие гептамино, из которых сложить подобную полосу не получится.

Подсказка 2

Чтобы получить много разных замощений, в частности, бесконечно много — как требуется в пункте б), достаточно сконструировать две различные полосы, которые потом можно комбинировать между собой. Три замощения в пункте а) можно получить таким же образом.

А фигура, копиями которой нельзя замостить плоскость, по всей видимости, должна обладать либо выемками, которые нельзя покрыть, либо, наоборот, выступающими частями, которые накладываются друг на друга, как ни крути.

Решение

а) Для начала сложим вместе два наших пентамино — получится восьмиугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны (рис. 3).

Такими восьмиугольниками оказывается удобно мостить плоскость. Для этого будем прикладывать их параллельными сторонами друг к другу, образовывая бесконечно длинные полосы. Наиболее естественно это делать одним из двух способов, изображенных на рис. 4.

Полученными полосами покрыть плоскость совсем легко — так у нас получаются два различных замощения данными пентамино, показанные на рис. 5.

Чтобы получить еще одно замощение, посмотрим, как устроены уже построенные нами полосы. Каждая из них представляет собой что-то вроде «лесенки». Считая длину стороны квадрата, из пяти копий которого составлено пентамино, равной единице, мы можем сказать, что у первой «лесенки» длина «ступеньки» равна 3, а высота — 1. Что касается второй «лесенки», то у нее длина и ширина «ступенек» совпадают и равны 2.

Понятно, что если нам удастся сконструировать еще одну полосу-«лесенку», у которой длина и ширина «ступенек» совпадают с одним из уже указанных вариантов, то потом мы сможем скомбинировать между собой эти полосы и получить новое замощение. Удивительным образом эта полоса обнаруживается в одном из двух уже построенных замощений, хотя сама полоса отличается от двух уже известных нам «лесенок» (рис. 6).

Поэтому третье из искомых замощений получается таким, как на рис. 7.

Существуют и более хитрые полосы, которые приводят к замощениям. Один из примеров такого замощения приведен на рис. 8.

б) Самый естественный способ замостить плоскость данными фигурками нонамино заключается в том, чтобы, как и в пункте а), сначала составить из них полоску, а потом уже покрыть все такими полосками (рис. 9, слева).

Другой вариант замощения получается, если мы будем чередовать положения наших фигурок: стандартное, повернутое, стандартное, повернутое и так далее — получается рисунок, похожий на мозаику паззлов (рис. 9, справа).

С первого взгляда кажется совершенно непонятным, что общего между этими двумя замощениями (если не считать форму плитки, которая лежит в их основе, конечно). Дело оказывается в том, что полосы в каждом замощении можно выделять разными способами. В частности, в первом из указанных замощений можно найти полосу, которая имеется и во втором замощении (рис. 10).

Теперь мы можем, чередуя такие полосы с полосами фигурок нонамино, повернутых на 90°, получить бесконечно много разных вариантов замощения плоскости. Например, такой, который изображен на рис. 11.

Проводя аналогию с пунктом а), отметим, что и там мы можем комбинировать две стандартные полосы различными способами, а значит, вариантов замощения плоскости данным пентамино также бесконечно много. А для знакомых с теорией множеств обратим внимание на тот факт, что подобные множества различных замощений даже не являются счетными, поскольку каждому замощению соответствует бесконечная в обе стороны последовательность из нулей и единиц.

в) Среди всех 108 возможных фигурок гептамино только четыре обладают тем свойством, что их копиями нельзя замостить плоскость без пробелов и наложений: одна из них изображена справа на рис. 2, а остальные три — на рис. 12. Мы приведём доказательство этого факта только для левой из этих трех фигурок. Для двух других объяснение использует ту же самую идею, хотя и является более громоздким из-за необходимости рассмотрения большего числа случаев.

Рассмотрим данную фигурку гептамино и одну из клеток, которая к ней примыкает по двум сторонам (зелёная клетка на рис. 13). Эта клетка должна быть покрыта какой-либо копией фигурки гептамино — с точностью до симметрии имеется всего два варианта такого покрытия. Для каждого из этих вариантов рассмотрим одну из клеток, которая примыкает по двум сторонам ко второй фигурке (жёлтые клетки на рис. 13). Она тоже должна быть покрыта некоторой копией данной фигурки гептамино. Однако как бы мы ни располагали третью фигурку, а впоследствии и остальные фигурки, соседняя клетка (красные клетки на рис. 13) окажется не покрыта ничем. Следовательно, данная фигурка гептамино не допускает замощения плоскости без пробелов и наложений.

Послесловие

Термин полимино (англ.: polyomino) был введен в широкое обращение американским математиком Соломоном Голомбом в 1953 году, а затем популяризирован Мартином Гарднером. Однако это вовсе не означает, что до середины XX века человечество было совершенно незнакомо с этим понятием. Как справедливо отмечал сам Голомб, задачи о пентамино упоминаются еще в книге «Кентерберийские головоломки» английского изобретателя головоломок и развлечений Генри Дьюдени (Henry Dudeney), изданной в 1907 году, и есть основания полагать, что Дьюдени был не первым человеком, заинтересовавшимся этой темой. Кроме того, в период с 1937-го по 1957 годы в английском журнале Fairy Chess Review появился ряд статей, в которых рассматривались задачи разбиения различных фигур на части, имеющие форму n-мино для n = 1, . 6.

Читайте также:  Пятна на паркетной доске

Различают три вида полимино в зависимости от того, разрешается ли переворачивать и вращать фигурки. Двусторонние полимино (англ.: free polyominoes) можно как переворачивать, так и поворачивать, односторонние полимино (англ.: one-sided polyominoes) можно только поворачивать в плоскости, а фиксированные полимино (англ.: fixed polyominoes) нельзя ни поворачивать, ни переворачивать. Существует ровно по одному типу двусторонних мономино и домино, два типа тримино и пять типов тетрамино (рис. 1). Количество различных фигурок двустороннего пентамино равно уже двенадцати (рис. 14). Чтобы запомнить их все, Голомб предложил использовать следующее мнемонеческое правило: каждой фигурке пентамино сопоставим букву латинского алфавита; семь из этих букв (TUVWXYZ) составляют конец латинского алфавита, а еще пять (FILPN) входят в имя Filipino (в оригинале книги Голомба слово «Filipino» означает «филиппинец»). К слову, тетрамино тоже иногда обозначают латинскими буквами: I, O, T, L и Z.

Чем больше число n, тем большее количество различных n-мино можно составить из n единичных квадратиков, причем зависимость является экспоненциальной. Так, существует 35 различных разновидностей двустороннего гексамино, 108 разновидностей двустороннего гептамино, 369 разновидностей двустороннего октамино и более тысячи видов фигурок двустороннего нонамино. Точную формулу, которая бы отражала зависимость количества различных фигурок n-мино от числа n, пока еще никому не удалось найти, а потому в каждом конкретном случае приходится пускаться в утомительные вычисления, отнимающие уйму времени. На сегодняшний день с использованием суперкомпьютеров удалось перечислить всевозможные двусторонние полимино для всех n ≤ 28, а также всевозможные фиксированные полимино для всех n ≤ 56 — количество разновидностей последних составляет приблизительно 7·10 31 штук.

Большая часть популярных задач и головоломок, использующих фигурки полимино, связана с замощениями плоскости или различных других объектов — квадратов, прямоугольников и фигур более хитрой формы. Не претендуя на то, чтобы охватить все, что познало человечество за последние пятьдесят с лишним лет, перечислим наиболее заметные и любопытные идеи и факты.

1. Задача, уже ставшая классической: можно ли покрыть фигурками домино 1×2 шахматную доску 8×8, из которой вырезана пара противоположных угловых клеток? Ответ на поставленный вопрос отрицательный: раскрасив доску так, как это показано на рис. 15, легко убедиться, что эта доска содержит 32 черные и 30 белых клеток, в то время как каждая фигура домино занимает по одной клетке каждого цвета, как бы мы ее ни располагали.

2. Другая задача, похожая на первую: какую клетку из шахматной доски 8×8 нужно вырезать, чтобы ее можно было покрыть фигурками тримино 1×3? Чтобы решить ее, оказывается полезным раскрасить доску в три цвета так, как изображено слева на рис. 16. При такой раскраске черных и белых клеток поровну — по 21 штуке, а серых клеток больше — их 22. Поскольку каждая фигурка тримино занимает по одной клеточке каждого цвета, мы должны вырезать серую клетку. Однако подойдет не любая серая клетка, а лишь такие, которые при повороте доски перейдут в серые клетки — таких всего четыре (рис. 16, в середине). Одно из возможных покрытий показано справа на рис. 16.

3. Шахматную доску можно покрыть копиями каждого вида тетрамино, кроме Z-тетрамино. При этом нельзя покрыть ее одним квадратом и 15-ю T-тетрамино, одним квадратом и 15-ю L-тетрамино, а также одним квадратом и 15-ю I-тетрамино (для доказательства этих фактов также используются различные раскраски доски 8×8).

4. Шахматную доску можно покрыть полным набором двусторонних пентамино и квадратным тетрамино, использовав каждую фигурку ровно один раз. При этом квадрат может быть расположен в любой части доски. Обобщение этой головоломки — покрыть полным набором двусторонних пентамино шахматную доску с произвольными четырьмя вырезанными клетками. Большинство таких задач имеют решение. Несколько примеров приведено на рис. 17.

Рис. 17. Примеры заполнения шахматной доски с четырьмя вырезанными клетками набором двусторонних пентамино. Рисунок с сайта ru.wikipedia.org

5. Полным набором двусторонних пентамино можно покрыть прямоугольники размера 6×10, 5×12, 4×15 и 3×20. При этом количество возможных решений (с точностью до поворота и отражения данного прямоугольника) для случая 6×10 составляет 2339 различных укладок, для случая 5×12 — 1010 укладок, для случая 4×15 — 368 укладок, а для случая 3×20 — всего 2 укладки. Примеры показаны на рис. 18

Рис. 18. Примеры заполнения разных прямоугольников набором двусторонних пентамино. Рисунок с сайта ru.wikipedia.org

6. Задача об утроении заключается в следующем: выбрав одну из 12 фигур пентамино, необходимо построить из каких-либо 9 оставшихся пентамино фигуру, подобную выбранной, но в 3 раза большей длины и ширины. Решение существует для любого из 12 пентамино, причем оно далеко не единственно (количество решений варьируется от 15 для Х-пентамино до 497 для Р-пентамино). На рис. 19 показано решение, найденное А. ван де Ветерингом. Оно обладает интересным свойством: каждое пентамино используется для утроения девяти из остальных, по одному разу в каждой. То есть из девяти комплектов пентамино можно одновременно сложить все 12 утроенных пентамино.

Рис. 19. Задача об утроении пентамино. Решение А. ван де Ветеринга. Рисунок с сайта ru.wikipedia.org

7. Полным набором двусторонних гексамино никакой прямоугольник покрыть нельзя. Для доказательства достаточно использовать обычную шахматную раскраску. В любом прямоугольнике при такой раскраске количество черных и белых клеток будет совпадать. А вот в наборе гексамино эти числа обязательно будут различаться, потому что 24 фигурки гексамино занимают по 3 белые и черные клетки, а оставшиеся 11 фигурок — 2 клетки одного цвета и 4 клетки другого цвета.

8. Зато полным набором двусторонних гексамино можно покрыть разные другие интересные симметричные фигуры (рис. 20).

Рис. 20. Покрытие симметричных фигур полным набором гексамино. Рисунок с сайта stepanov.lk.net

9. Особое место среди задач этой тематики занимают покрытия разных объектов фигурками домино. Так, количество покрытий прямоугольника 2×n фигурками домино выражается (n + 1)-м числом Фибоначчи. Существует также формула для числа покрытий фигурками домино прямоугольника 2m×2n, она имеет следующий вид:

10. Любая из фигурок мономино, домино, тримино, тетрамино и пентамино допускает моноэдральное замощение плоскости. Это означает, что какую из перечисленных фигурок мы ни возьмем, плоскость можно покрыть ее копиями без пробелов и наложений. При этом для всех фигурок, за исключением X-пентамино, таких замощений бесконечно много.

11. Любая из 35 фигурок гексамино допускает моноэдральное замощение плоскости. Среди 108 фигурок гептамино четыре таким свойством не обладают. Это же можно сказать про 26 из 369 фигурок октамино и 235 из 1285 фигурок нонамино.

12. Существуют наборы из нескольких фигурок полимино, которые допускают только непериодические замощения. Например, таковыми являются наборы фигурок полимино, изображённые на рис. 21.

Рис. 21. Наборы полимино, допускающие только непериодические заполнения плоскости

Помимо полимино существуют и другие объекты, имеющие сходные строение и свойства. Речь идет, прежде всего, о полиамондах, полигексах и полиаболах, то есть о фигурах, составленных из нескольких правильных треугольников, правильных шестиугольников и равнобедренных прямоугольных треугольников соответственно. Кроме того, интерес представляют пространственные полимино, которые называются поликубами.

При подготовке задачи были использованы следующие материалы:
1) М. Гарднер, «Математические головоломки и развлечения», М: Мир, 1971.
2) М. Гарднер, «Математические новеллы», М: Мир, 1974.
3) С. В. Голомб, «Полимино», М: Мир, 1975.
4) Г. Дьюдени, «Кентерберийские головоломки», М: Мир, 1979.
5) B. Grünbaum, G. C. Shephard, Tilings and Patterns, 1987.

Тетрамино пазлы

Привет, пикабу! Недавно начал проходить замечательную игру – The Talos Principle. Головоломки решались бодренько, но в один момент я столкнулся с типом пазлов решаемых лишь перебором

(фигуры можно вращать)

Пазл по укладке тетрамино в заданое пространство. Пока они были маленькие они решались легко: я укладываю исходя из представляемых мною тупиков и того, какие фигуры получаются из 2-х тетрамино сложенных по-разному вместе. Но теперь они огромны! И их много. Меня раздражает, что все предыдущие пазлы я мог быстро решить включая логику, а здесь я вынужден подолгу сидеть и раскидывать по-разному эти фигуры.

Может есть общий принцип по разложению таких задач, но он неочевиден (как в кубике рубика)

И. Ничего толкового. Есть как-бы близкие головоломки, но принципов решения чего-то подобного нет. Я знаю, здесь много умных людей, давайте поломаем голову. Я уже подумываю писать запрогать алгоритм для этих головоломок (ну не гуглить же готовое решение, вообще неспортивно) вот вам ещё пара вариантов этой головоломки

И одна из решенных мной

Господа математики, выручайте!)

Найдены дубликаты

Если все пазлы проходимы, то алгоритм должен существовать и на его основе игра подбирает набор фигур.

Хотя простой перебор – тоже алгоритм. Тогда у игры такой алгоритм:

1. выбрать случайный набор фигур

2. решить головоломку перебором

3. если решения нет, перейти к шагу 1

(Как тут с вычислительной сложностью – не знаю)

нет тут никаких умных стратегий.

только опыт поможет вытащить.

учитывая что фигуры строго из тетриса – проблем быть не должно

Я не понял, а почему доска как шахматная, это роль какую та играет?

нет. просто поле которое нужно заполнить. на последней картинке видно

Так автор и спрашивает, какие они есть.

Научись пользоваться
как обезьяна тыкать
Есть алгоритмы
предугадывать
Есть канал на ютубе
гугл в помощь

А по делу что-то будет или только вода?

самое первое это подсчитать количество клеток, на доске и в фигурах.
второе это покрасить сами фигуры в цвет доски

P.S. мною пазлы решены используя методы написанные мною в посте. Мне интересны более эффективные математические методы в случае масштабирования подобных головоломок, а от тебя я слышу только какой-то “пук-пук”, лучше бы ничего не писал.

Ну, на пальцах, думаю, тяжело будет обжарить как повернуть третью с лева и поставить ее в центр правее, скорее на Ютьюб дорога и искать прохождение игры.

(Сам недавно начал играть в Талос)

нет, прохождение мне ненужно. Я решил достаточно сложных пазлов, тот же Witness. Я пока быстро прохожу игру и даже пазлы на звезды даются без проблем. Но тут вышел затык.

Это ещё одно из удовольствий от игры. Первые прохождения настолько нагружали черепушку, что приходилось ограничивать игру 3-4 часами в день. Потом втянулся )

Здорово ты считал) не подскажешь как 37 получилось если все фигуры по 4 клетки?

Головоломка

Головоломка Зеркальный Эшер

Привет, Пикабу! Хочу рассказать про головоломку с уникальной механикой, которая основана на зеркалах и отражениях в них. И плюс всё это сдобрено парадоксальными и мозговыносящими изображениями Эшера.

Головоломка эта представляет из себя основу с девятью кубиками в ней:

Каждый кубик имеет две прозрачные грани, которые взаимосвязаны между собой расположенным внутри кубика зеркалом. На остальных гранях располагаются фрагменты изображений Эшера:

Зеркало установлено под 45 градусов таким образом, что если смотреть на прозрачную грань перпендикулярно ей, то будет видно то, что находится напротив второй соседней прозрачной грани. Перископ на минималках.

Суть головоломки в том, чтобы собрать одно из пяти изображений Эшера.

Всё усложняется тем, что вынимая один из кубиков, вы убираете не только кусочек общей картины, за которую отвечает этот конкретный кубик, но и разрушаете зеркальное отражение в соседнем кубике, если какое-то из зеркал было направлено на вынутый кубик:

Мне кажется, недостаточно я вас загрузил сложностями. 🙂 Поэтому вот еще одна вводная: фрагменты рисунков Эшера находятся не только на кубиках, но и на внутренней стороне основы:

Думаю, вы заметили на фото выше отверстия в основе. У этих отверстий есть очень важная функция — они позволяют оооочень легко с обратной стороны вытолкнуть пальцем нужный кубик, чтобы не приходилось его как-то подцеплять с лицевой стороны. Кажется, что это бессмысленная мелочь, но очень уж эта доработка облегчает процесс сборки.

А вот такие изображения Эшера можно собрать:

Для тех, кому удобнее воспринимать информацию из видео:

Карта России

Прогуливаясь в Москве до банкомата наткнулись на такую чудесную карту, которую предлагают собрать за 10 минут и получить медаль, либо просто собрать на интерес без ограничений по времени.
Карта из дерева, на магнитах. Абсолютно бесплатный аттракцион для любителей головоломок.
ПС: публика которая собралась вокруг карты оказалась очень интересной в общении. Отличное место для знакомства с интересными людьми

Пазл – хамелеон

Головоломка

Головоломка не для слабонервных

Голографический пазл из 1000 частей

Пазл не для слабонервных – онлайн.

и подумал, а что я не дизайнер что ли. За пять минут состряпал картинку в фотошопе, палитра RGB от темного к светлому, все как обычно. Залил на хостинг (надеюсь он не отвалится) Перебрал несколько онлайн движков, нашел помоему самый оптимальный. Достаточно шустрый.
Сверху слева настройки. Можно выбрать количество деталек. Можно включить с вращением деталей или без – чтобы вращать крутим колесом мыши над деталькой или когда держим ее. Можно поменять цвет фона. В серединке сверху можно включить отображение только пограничных деталек, собрать окантовку, а потом уже переключить и собирать серединку.

Делитесь в комментах кто сколько деталек за какое время собрал.
Мое залипалово 140 деталей, с вращением – 23:40 – неторопясь под кофеек.

Надеюсь длинная ссылка сработает, потому что короткие пикабу не принимает. Если нет, то я закину картинку в комменты и сможете подгрузить ее в движок сами.
Го, я создал – https://www.jigsawexplorer.com/online-jigsaw-puzzle-player.h.

Пазл не для слабонервных.

Дизайнер Клеменс Хабихт (Clemens Habicht) из Парижа создал невероятно сложный пазл, состоящий из 5000 элементов.

Детали головоломки образуют цветовую гамму CMYK размером 6,5 х 2,5 фута (1,98 х 0,76 м)

20-летний житель Атырау решил одну из трёх знаменитых задач древности

20-летний Акылбек Копжасаров из Атырауской области решил одну из трёх знаменитых задач древности — Задачу о трисекции угла. Этот факт уже подтверждён комитетом Филдсовской премии и Европейским математическим сообществом, передает azh.kz.

Эта задача наряду с задачами о квадратуре круга и удвоении куба на протяжении многих веков считалась классической неразрешимой головоломкой на построение.

Задача заключается в том, чтобы с помощью циркуля и линейки разделить заданный угол на три равные части. Невозможность такого построения даже была доказана французским математиком Пьером Лораном Ванцелем в 1837 году.

Читайте также:  Темный паркет

Акылбек о ней впервые услышал от своего учителя на факультативных занятиях по математике в 15 лет. С тех пор каждый свободный час он проводил за вычислениями.

«На математических сайтах я читал, что многие до сих пор пытаются решить эту задачу и, не скрою, конкуренция здорово подстегивала. На сегодняшний день доказано, что хотя трисекция угла в общем случае невыполнима с помощью циркуля и линейки — существуют кривые, с помощью которых это построение выполнить можно: улитка Паскаля или трисектриса, конхоида Никомеда, конические сечения, спираль Архимеда, а также при построении с помощью плоского оригами. Мне же хотелось придерживаться условий задачи. И тогда я обратился к Теореме Морлея и попробовал решить задачу через окружность Ламуна, но, к сожалению, достиг тупиковой ветви, и тогда мне пришла в голову идея воспользоваться доказательством Гильберта с помощью гиперболы Киперта и правилом третьего круга», — рассказал Акылбек.

Это решение древнейшей задачи представлено на сайте Европейского математического общества. Больше, чем само открытие, в Акылбеке поражает факт его природного математического дара — у него нет ни одной образовательной степени: ни магистерской, ни даже бакалавриата.

«Не хотелось мне, — говорит Акылбек. — Да и некогда было, я был погружён в Задачу». Чтобы не зависеть финансово от родителей, Акылбек устроился работать в магазин компьютерной техники. И он очень благодарен им, что они не докучали ему наставлениями. Теперь-то они точно могут гордиться своим сыном, чьё имя прочно вписано в анналы истории математики.

Как только Акылбек понял, что нашёл решение задачи, тут же написал письмо в Европейское математическое общество. И спустя 2 месяца получил ответ, что высокая комиссия готова номинировать Акылбека Копжасарова на премию в 2018 году во время очередного Европейского математического конгресса.

На его адрес стали приходить восторженные отзывы от математиков всего мира. Акылбек с ужасом ждал, что кто-то обнаружит погрешности в решении, но, к счастью, по сей день никто таких доказательств не предъявил. Он не скрывает своего желания получить и премию Абеля — это своего рода Нобелевская премия по математике, денежный размер которой составляет более $1 млн.

Исследовательская работа «Геометрическая мозаика Пентамино»

Геометрическая мозаика ПЕНТАМИНО

ученица 3 «Б» класса, 9 лет
МКОУ Газ-Салинская средняя общеобразовательная школа

Заборная Мария Михайловна

учитель начальных классов

МКОУ Газ-Салинская средняя общеобразовательная школа

ГЛАВА I. ЗАГАДОЧНЫЙ МИР ПЕНТАМИНО

1.1. История создания логической игры «Пентамино»

1.2.Виды и количество фигур Пентамино

1.3. Правила игры «Пентамино»

ГЛАВА II. ПОПУЛЯРНЫЕ ГОЛОВОЛОМКИ “ПЕНТАМИНО”

2.1. Пентамино на шахматной доске

2.2. Решение головоломок «Пентамино»

ГЛАВА III. ОПИСАНИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

3.1. Пентамино – головоломка своими руками

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ

Игры – головоломки или геометрические конструкторы (мозаики) известны людям очень давно. Они интересны по содержанию, занимательны по форме, отличаются необычностью решения. Игры – головоломки вызывают у детей огромный интерес, удивление, эмоционально захватывают, способствуют развитию и становлению нравственно-волевых качеств личности школьника. В стремлении ребёнка «победить» в нелёгкой борьбе с «хитрой» задачей проявляется его упорство, настойчивость, целеустремлённость. Кроме того, игры-головоломки помогают формировать такие жизненно важные качества как находчивость, быстроту, ловкость, самостоятельность, привычку к трудовому усилию, активную позицию. В играх-головоломках развивается умение сосредоточенно думать, способность к длительному умственному напряжению, интерес к интеллектуальной деятельности, познавательный интерес, умение общаться, сотрудничать и взаимодействовать. Все эти качества необходимы для успешного овладения учебными дисциплинами в школе.

Актуальность: данная тема представляет особую актуальность, она показалась мне очень интересной, так как логическая головоломка “Пентамино” – позволяет не только творчески провести время, но и развивает воображение, память, внимательность. В наше время трудно найти ребенка, который не интересовался бы компьютерными играми, поэтому игра-головоломка “Пентамино” не известна большинству школьников.

Если доказать, что решение головоломки “Пентамино” ускоряет развитие пространственного мышления, мелкой моторики, усидчивости, памяти, внимательности, развивает умение общаться, сотрудничать и взаимодействовать с людьми в разнообразных жизненных ситуациях, то в будущем можно изучить различные виды логических игр – головоломок для разностороннего развития школьника.

Гипотеза: игра – головоломка “Пентамино” развивает познавательные навыки и круг интересов: умение общаться, строить отношения и взаимодействовать с окружающими.

На сегодняшний день существуют работы, посвященные играм-головоломкам. Однако мы решили, изучить эту тему на примере своего класса и в этом заключается новизна нашего исследования.

Цель исследования: изучить возможности игры – головоломки “Пентамино”

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
Познакомиться с историей создания игры “Пентамино”;

 Выяснить значение игры “Пентамино” в жизни школьника;

 Изучить правила игры “Пентамино”;

 Решить задачи, предложенные любителями игры “Пентамино”;

 Проанализировать результаты учащихся 3Б класса;

 Сделать выводы на основе анкетирования.

 Заинтересовать одноклассников логическими настольными играми.

Поставленные нами цель и задачи исследования определили следующую проблему:

Каким образом игра-головоломка влияет на развитие и как помогает в общении между детьми младшего школьного возраста?

Для исследования возможностей игры “Пентамино”, мы выбрали следующие методы:

анализ литературы по данному вопросу;

исследование логической игры “Пентамино;

наблюдение за успехами в игре учащихся нашего класса;

Объект исследования: игра – головоломка «Пентамино»

Предмет исследования: влияние игры – головоломки на развитие коммуникативных навыков.

Практическая значимость: результаты исследования помогут понять, как игра- головоломка “Пентамино” влияет на современного школьника.

ГЛАВА I. ЗАГАДОЧНЫЙ МИР ПЕНТАМИНО

1.1. История создания логической игры «Пентамино»

Популярная игра «Пентамино» представляет целую группу головоломок с общим названием “Полимино” (образовано от домино). Это название в 1953 году придумал американский математик Соломон Голомб – создатель многочисленных геометрических головоломок с фигурками тримино, тетрамино и пентамино (от греческого trias, tetra, pente — три, четыре, пять). Его книга с описанием многочисленных головоломок приобрела мировой успех, была переведена на множество языков, в том числе и русский.

В 70-е годы в нашей стране игра – головоломка стала очень популярной. Тогда же выяснили, что впервые вариант этой игры под названием «12 по 5» придумал Н.Д. Сергиевский еще в 1935 году, а в 1951 игра “Пентамино” участвовала во Всесоюзном конкурсе детской игрушки. “Пентамино” – знаменитая головоломка второй половины прошлого века, которая пользуется заслуженным успехом среди любителей занимательной математики во всем мире.

1.2.Виды и количество фигур Пентамино

Игровой набор “Пентамино” состоит из 12 фигурок. Каждая в свою очередь состоит из 5 – клеточек квадратов, сложенных различным образом. Отсюда и название: “Пентамино”, то есть “Пять” и “Домино”.

В процессе игры фигуры разрешается укладывать как одной, так и другой стороной. Шесть фигур при переворачивании не меняют своей конфигурации – они симметричны. Остальные асимметричны и при переворачивании становятся «зеркальными». Считается, что зеркальная симметрия и вращательная симметрия не создают новых фигур. Но если считать и зеркально отражённые фигуры, то их число увеличится до 18. (Приложение1) Такое различие имеет значение, например, в компьютерной игре, вариации «Тетриса» — «Пентиксе». Все 12 видов пентамино можно обозначить прописными латинскими буквами, форму которых они напоминают. Запомнить эти обозначения удобнее всего так: первые пять букв входят в имя FILIPINo, а остальные семь составляют конец латинского алфавита(TUVWXYZ).

Например, вот восемь возможных способов ориентации пентамино L, F, N и Y. (Приложение1)

Если рассматривать вращения фигур на 90°, то существуют следующие категории симметрии:

L, N, P, F и Y могут быть ориентированы 8 способами каждая: 4 поворотами и ещё 4 зеркальными отображениями.

Z может быть ориентирована 4 способами: 2 — поворотами, 2 — зеркальными отображениями.

T, V, U и W могут быть ориентированы поворотами 4 способами каждая.

I может быть ориентирована поворотами 2 способами.

X может быть ориентирована единственным способом.

Отсюда число фиксированных пентамино равно 5 × 8 + (1 + 4) × 4 + 2 + 1 = 63.

1.3. Правила игры «Пентамино»

Задача игрока расположить все фигурки на поле, оставив четыре пустые клетки. В простом случае фигурки можно переворачивать (отражать зеркально), а пустые клетки оставлять где угодно. В усложноенном варианте запрещается зеркальные перевороты фигур, а пустые клетки должны быть на конкретных местах (например, по углам). Если сделать несколько комплектов, то можно собирать на время.

Правила игры состоят в том, что каждый игрок, должен из предложенных игрой геометрических фигурок составить зашифрованный рисунок. (Приложение 2)

Игра Пентамино, как и все логические игры имеют несколько уровней. После того как первой и обычно самый простой уровень игроком пройден и ему удалось справиться с задачей и составить определенную фигуру игры Пентамино, игроки могут перейти на следующий уровень, который будет куда сложнее, чем предыдущий. Чтобы игрокам игры Пентамино было интересно преодолевать все трудности и переходить от одного уровня к другому, любители этой увлекательной головоломки предлагают составлять не только всем привычные геометрические фигурки, но и попробовать свои силы, собирая, к примеру, изображение животного, автомобиля, шахматных фигур или любого узора. Игра – головоломка Пентамино, обладает огромным количеством различных вариантов изображений. Выбрав категорию «животные» и собрав все предложенные в ней фигурки, начиная от песика, и заканчивая огромным слоном, обязательно возникнет желание попробовать свои силы, собирая более сложны рисунки из категории «узоры».

ГЛАВА II. ПОПУЛЯРНЫЕ ГОЛОВОЛОМКИ “ПЕНТАМИНО”

2.1. Пентамино на шахматной доске

Пентамино может быть не только головоломкой, но и настольной игрой. Вот как описывает подобную игру Соломон Голомб в своей книге “Полимино”:
“Пентамино – это не только задачи. Их размещения на шахматной доске размером 8х8 можно рассматривать и как увлекательную игру. Несколько (двое или больше) игроков поочередно выбирают любое из 12 пентамино и располагают его на свободных клетках шахматной доски. Проигрывает тот, кто первым не сможет разместить на доске ни одного из оставшихся пентамино. Если же все 12 пентамино удалось разместить на доске, то выигрывает ходивший последним. Эта игра наверняка будет продолжаться не менее 5 и не более 12 ходов и заведомо не может кончиться вничью; в начале партии имеется даже больше разнообразных «ходов», чем у шахмат. Игра, бесспорно, заинтересует игроков самого разного возраста.
Главное: старайтесь играть так, чтобы на шахматной доске всегда оставалось место для четного числа пентамино (разумеется, если вы играете вдвоем).
Если вам не удается проанализировать создавшуюся позицию, постарайтесь по возможности усложнить ее так, чтобы противник оказался в еще более затруднительном положении, чем вы.” (Приложение 1)

2.2. Решение головоломок «Пентамино» (игры и задачи с Пентамино)

Самая распространённая задача в Пентамино – сложить из всех элементов прямоугольник. Возможны прямоугольники 6×10, 5×12, 4×15 и 3×20. Для случая 6×10 эту задачу впервые решил в 1965 году Джон Флетчер. Существует ровно 2339 различных укладок Пентамино в прямоугольник 6×10, не считая поворотов и отражений целого прямоугольника. Один из вариантов:

Пентамино – прямоугольник 6×10

Для прямоугольника 5×12 существует 1010 решений.

Сложи фигуру Пентамино

Из 12 элементов Пентамино можно составить самые разнообразные фигуры – симметричные узоры, буквы алфавита, цифры, животных, цветов и т.д.. Для начинающих, лучше фигуры складывать по образцу, как мозаику. Фигурки можно распечатать или перерисовать на листочек в клеточку. (Приложение2)

Можно вымостить плоскость фигурками Пентамино (паркет) каждого вида. Основой построения паркетов в каждом случае будет замощение полос или «ступенчатых полос». Размеры ступенек в каждой полосе одинаковы, более того верхние и нижние ступеньки каждой полосы тоже одинаковы, поэтому такие полосы можно параллельным переносом смещать, покрывая ими всю плоскость. Вот какие полосы получились для каждой из двенадцати фигурок Пентамино. Таким образом, плоскость можно замостить любой фигуркой Пентамино. (Приложение 2)

Ученые пишут: Эту головоломку придумал, несомненно, гениальный человек! Головоломка кажется довольно легкой, но приступив к решению, быстро осознаешь, что это не так, детали просто не слушаются и не хотят строить заданные фигуры. Эта игра-головоломка, бесспорно, увлечет на долгое время, она позволяют решать одну и ту же задачу несколькими способами. Вывод: головоломка “Пентамино” является полезной и увлекательной игрой и для детей, и для взрослых. Она содержит в себе набор хитроумных задачек, которые решаются либо с помощью логики, либо путём рассуждения. Решение головоломок ускоряет развитие пространственного мышления, мелкой моторики, усидчивости, памяти, смекалки, внимательности, развивают нестандартность мышления, а самое главное игра – головоломка развивает коммуникативные навыки. В процессе игры ребята обретают навык общения друг с другом.

ГЛАВА III. ОПИСАНИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

3.1. Пентамино – головоломка своими руками Заниматься решением головоломок намного проще, если её можно взять в руки, ощутить размеры и формы, оценить взаимное расположение деталей, понять возможности их перемещений. Как сделать Пентамино? Предлагаем сделать элементы из плотного картона.
• Рисуем каждый элемент на твердом картоне, вырезаем, проверяем, чтобы элемент входил в элемент “U”. Подрезаем , если надо лишнее. • Рисуем детали из квадратиков 2,5х2,5 см.
• Обводим готовый картонный элемент на сложенной вдвое цветной бумаге и вырезаем сразу две цветные детали. Лучше цветные детали делать меньше, чем картонные, и приклеиваются лучше, и углы будут ровнее.
• Клеим клеем-карандашом цветную бумагу с двух сторон картонки.
• Находим коробочку для хранения деталей, куда потом будем складывать также схемы и задания к игре. (Приложение 3)

Данная работа посвящена изучению игры-головоломки “Пентамино”, как одному из способов развития познавательных способностей. В связи с этим было проведено исследование, которое состояло из двух этапов:

Цель данного этапа:

выяснить каким играм школьники отдают наибольшее предпочтение.

определить возможности игры – головоломки

На первом этапе основными методами явились: наблюдение и анкетирование.

Цель данного этапа: проанализировать полученный результат, сделать выводы и сформировать рекомендации.

В нем приняли участие ученики 3б класса в количестве 16 человек.

Для тог, чтобы узнать, какие игры предпочитают ребята, мы предложили им ответить на следующие вопросы:

Нравятся ли тебе игры – головоломки?

Знаешь ли ты, что такое головоломка Пентамино?

Какие игры тебе больше нравятся : головоломки или компьютерные?

Проведенное исследование позволило нам сделать следующие выводы: большинство ребят нашего класса, собирают головоломки, но с игрой Пентамино никто не знаком. Порадовало и то, что компьютерными играми увлекаются только мальчики.

Для того чтобы добиться цели моей работы, мне надо было привлечь одноклассников к игре, показать головоломку Пентамино, как увлекательную и интересную игру. Что я для этого сделала?

Читайте также:  Юбка паркет

Одним из методов моей работы является наблюдение. Я решила применить этот метод на школьной перемене. Для этого я принесла игру-головоломку в школу и предложила однокласснице собирать фигуру животного вместе со мной. Ребятам стало интересно и у них появилось желание узнать правила игры. Мы решили познакомить ребят с игрой-головоломкой “Пентамино”, предложили им на протяжении учебного года каждый день осваивать эту игру – головоломку. Первое время не всем нравилось решать головоломку, потому что не сразу получалось прийти к верному решению и некоторые ребята теряли интерес к игре. Но большинство одноклассников поддерживали их, рассуждали над головоломкой коллективно, вместе искали пути решения. Ребята «не опускали руки» и в итоге сумели найти новые способы решения головоломки. Мы с одноклассниками теперь знаем, что терпением и старанием можно добиться больших результатов, что любая сложность является хорошей возможностью чему-нибудь научиться.

Как показали наблюдения игра-головоломка “Пентамино”, увлекла ребят. Мы на уроке технологии сделали сами фигурки-детали из цветной бумаги. И у ребят появился азарт, каждому хотелось выложить фигуру быстрее всех. Сколько ты получаешь радости, когда оказываешься первым среди всех! Теперь они могут решать одну и ту же задачу несколькими способами. Головоломка “Пентамино”, стала полезной и увлекательной игрой для ребят нашего класса. Она содержит в себе набор хитроумных задачек, которые ребята решаются либо с помощью логики, либо путём рассуждения.

После знакомства с игрой-головоломкой, мы решили провести анкетирование.

Мы предложили ребятам ответить на вопросы анкеты. Полученные ответы внесли в таблицу:

Математические мозаики

Учимся делать мозаики

Геометрические преобразования и паркеты

Среди огромного разнообразия орнаментов выделяются “паркеты” (мозаики). Паркетом называют заполнение плоскости одинаковыми фигурами (элементами паркета), которые не перекрывают друг друга и не оставляют на плоскости пустого пространства (иногда паркетом называют заполнение плоскости несколькими фигурами, например, правильными многоугольниками). Тетрадный лист в клеточку представляет собой простейший паркет. Элементом паркета здесь является квадрат. Элементом паркета является также равносторонний треугольник, правильный шестиугольник, произвольный параллелограмм, даже произвольный четырехугольник. Можно придумать сотни, тысячи разных элементов паркетов. Некоторые из них изображены на рис. 1.

Придуманы паркеты, у которых несколько элементов образуют фигуру, подобную элементу паркета. Примеры таких паркетов приведены на рис. 2.

На рис. 3 приведен элемент простого паркета, который разбит на рисунке справа на четыре одинаковые фигурки – элементы нового паркета. А на рис. 4 показаны элементы нового паркета, также состоящие из четырех таких фигурок.

рис.3.

На рис. 5 приведен паркет, элементами которого являются одинаковые пятиугольники с углами 90°, 120°, 60°, 240° и 30°, которые получились разбиением правильного шестиугольника. Из этих пятиугольников образованы фигуры. Для каждой из них проверьте, является ли она элементом паркета. Придумайте паркеты, элементы которых состоят из указанных пятиугольников.

Всего существует 17 видов симметрии сетчатых орнаментов. Они схематично показаны на рис. 6 и 7. Первые семь из них (рис. 6, а-ж) допускают создание интересных паркетов без прямолинейных контуров.

Паркеты являются прекрасным материалом для вовлечения учащихся в интересную, содержательную и поучительную деятельность при изучении некоторых тем школьного курса математики. В данном случае занимательность имеет не внешний, формальный характер, а побуждает учеников к выяснению сути изучаемого материала. Они с успехом могут быть использованы в 5-9-х классах на уроках и во внеурочное время. Замечательные паркеты придумывал знаменитый голландский художник Морис Эшер. Элементами паркета у него служили фигуры животных, птиц, рептилий.

Простейшим видом паркета является такой, в котором плоскость заполняется фигурами с помощью параллельного переноса.

Его общая схема приведена на рисунке 6,а. Такие паркеты полезно использовать при изучении параллельного переноса, привлекая и описание с помощью формул, т. е. алгебраический метод.

Задание 1.

На рис. 8 показан паркет, т. е. заполнение всей плоскости одинаковыми (равными) фигурами. Как видно из рисунка, этот паркет может быть совмещен сам с собой разными параллельными переносами, например, на три клетки вправо и на одну клетку вверх. Этот параллельный перенос задается парой чисел (3; 1). Данный паркет также совмещается сам с собой параллельным переносом, который характеризуется парой чисел (- 6; – 2), или парой (- 2; 3). Проверьте!

рис.8.

  • Напишите еще 8-10 пар чисел, задающих параллельные переносы, совмещающие этот паркет с самим собой.
  • Проделайте это для паркетов, которые можно получить параллельным переносом каждой из фигур, представленных на рис. 9.
  • Проанализируйте для каждого паркета полученные пары чисел. Введите для них операции сложения, вычитания и умножения на целое число. Укажите две пары чисел такие, что остальные будут получаться из них с помощью введенных операций.

Задание 2.

Смещая параллельным переносом фигуру (рис. 10, а, б), заполните ею всю плоскость. Охарактеризуйте каждый паркет парами чисел – координатами векторов, которые задают параллельные переносы предложенной фигуры. Найдите сумму, разность двух любых полученных векторов или произведение этих векторов на целое число. Какой вектор получите в каждом случае? Будет ли параллельный перенос, задаваемый этим вектором, совмещать паркет с самим собой?

Приведенные два задания аналогичны между собой, хотя сформулированы на разных языках. Выполняя их, ученики обнаруживают тесную связь между параллельными переносами и векторами. В этих заданиях ясно прослеживается возможность разложения каждого вектора полученного векторного пространства по двум базисным векторам. Задания дают более осязаемые и легче понимаемые примеры операций векторов, вектора и числа.

Задание 3 (для шестиклассников).

Найдите координаты точек (x; y) – концов отрезков в контуре нарисованной фигуры (рис. 11). Затем найдите координаты (X; Y) новых точек по правилу: X = – x – 3, Y = y – 4. Соедините полученные точки в том же порядке.

  • Какая фигура получилась?
  • Сместите данную и полученную фигуры на 7 единичных отрезков вправо или влево. Что у вас получилось?
  • Заполните данной фигурой плоскость, получив паркет.

Задание 4.

Постройте фигуру, симметричную данной (рис. 12) относительно прямой a, а затем сместите полученную фигуру вниз на четыре клетки.

Заполните предложенной фигурой плоскость, получив паркет.

Фигуры на рис. 11 и 12 являются элементами паркета, общая схема которого показана на рис. 6 (б).

Задание 5.

На рис. 13 показано заполнение плоскости фигурой, дающее паркет, общая схема которого показана на рис. 6,в. Определите центры симметрии этого паркета. Продолжите заполнение плоскости данной фигурой.

Задание 6.

Постройте фигуру, симметричную данной относительно каждой из двух отмеченных точек (рис. 14). Заполните данной фигурой плоскость.

Задание 7.

Для каждой узловой точки фигуры, изображенной на рис. 14, найдите ее координаты (x; y) и постройте в той же системе точки с координатами (X; Y), найденными по формулам: X = – x – 6, Y = – y + 4. Соедините полученные точки в том же порядке. Что у вас получилось?

Задание 8.

  • Укажите преобразования (одно или два), которые одну из фигур, представленных на рис. 15, переводят в другую.
  • Введите систему координат и опишите в координатах одно из преобразований, совмещающее данный паркет с собой.
  • Продолжите заполнение плоскости предложенной фигурой.

Задание 9.

  • На каждом из рис. 16-18 укажите центры поворотов, переводящих одну фигуру в другую.
  • Заполните плоскость предложенными фигурами, получив паркеты видов E, F и G (рис. 6).
  • Найдите центры симметрии полученных паркетов, если они есть.

Задание 10.

Каждой из фигурок на рис. 19 заполните плоскость, получив паркет. Для этого скопируйте фигурки на кальку.

Задание 11.

Сравните фигурки на рис. 20. Скопируйте их на кальку и заполните плоскость, получив паркет.

Задание 12.

На рис. 21-36 представлены паркеты, придуманные автором (А. Цукарем, прим.). Изучите их строение и определите вид. Постройте многоугольник, равновеликий элементу паркета.

рис.21.

рис.22.

рис.23.

рис.24.

рис.25.

рис.26.

рис.27.

рис.28.

рис.29.

рис.30.

рис.31.

рис.32.

рис.33.

рис.34.

рис.35.

рис.36.

Приведенные паркеты можно использовать разнообразно. В 5-6-х классах полезно предложить ученикам фигурку – элемент паркета, увеличенный и вырезанный из картона, с тем, чтобы они заполнили ею плоскость. Это способствует формированию у школьников геометрического видения.

При изучении координат и векторов используются задания, аналогичные приведенным выше. И, конечно, они естественно применимы при изучении геометрических преобразований.

Паркеты также можно использовать при изучении темы “Площади плоских фигур” для иллюстрации идеи, состоящей в том, что за единицу площади может быть выбрана произвольная (квадрируемая) фигура, например, элемент паркета, а также для нахождения многоугольника, указанного в задании 12.

Для паркета, изображенного на рис. 21, площадь фигурки (пеликана) равна площади параллелограмма с вершинами в точках, являющихся глазами четырех соседних птиц. Для остальных фигур такие многоугольники находятся без большого труда.

В заключение приведем паркет (рис. 37), в котором использованы три различные фигурки. Он получен из паркета, изображенного на рис. 33, заменой фигурок собачек новыми фигурками. Площади всех фигурок паркета равны.

Автор: А. Цукарь, Новосибирск

Бесплатные почтовые рассылки по саморазвитию.
Уже подписалось более 17 тысяч человек.

Исследовательская работа “Загадочный мир полимино”

Исследовательская работа, которая знакомит с миром полимино. Позволяет применять при подготовке к олимпиадам, во внеурочных занятиях.

Просмотр содержимого документа
«Исследовательская работа “Загадочный мир полимино”»

Загадочный мир полимино

Хамдеев Ришат и Петров Павел учащиеся 8 класса

МБОУ «Полевобикшикская СОШ»

1. Расширить свои знания в области геометрии.

2. Изучить и решить задачи на полимино.

3. Выявить практическое применение задач .

геометрическое воображение и умение мыслить логически.

Полимино было придумано в 50-х годах ХХ века американским математиком С. Голомбом. А игра « Пентамино» очень быстро увлекла не только школьников и студентов, но и профессоров математики .

перевод с греч. – «много»

Перед вами несколько образцов полимино:

Полимино – это геометрические объекты, сделанные путем соединения определенного количества квадратов друг с другом .

Первая связанная с домино задача

Даны шахматная доска, из которой вырезана пара противоположных угловых клеток, и коробка домино, каждое из которых покрывает ровно две клетки шахматной доски . Возможно ли целиком покрыть доску с помощью 31 кости домино (без свободных клеток и наложений)? Ответ на этот вопрос гласит: «НЕТ» и имеет замечательное доказательство. Шахматная доска содержит 64 чередующиеся клетки белой и черной раскраски .Каждая положенная на такую доску и покрывающая две соседние клетки кость домино покроет одно белое и одно черное поле, а n костей домино – n белых и n черных полей, т.е. поровну и тех и других. Но изображенная на рисунке шахматная доска содержит больше черных клеток, чем белых, и потому ее нельзя покрыть костями домино.

Существует ли такой прямоугольник, сложенный из костей домино, в котором нельзя провести ни вертикальную, ни горизонтальную прямую, соединяющую его противоположные стороны.

Если представить себе вместо домино кирпичи, то задача сводится к вопросу о прочности кладки.

Самый маленький “прочный” прямоугольник имеет размер 5×6. Вот два различных построения такого прямоугольника:

Вообще “прочный” прямоугольник из домино можно сложить тогда, когда его площадь чётна, а длина и ширина больше четырёх.

Пентамино – фигуры, составленные из пяти квадратов так, что каждый квадрат примыкает хотя бы к одному соседнему, имеющему с ним общую сторону.

Нарисовать все фигурки пентамино можно, устроив соревнование между детьми. Кто нарисует последнюю фигурку, тот выиграл!

Сложите из двенадцати фигур пентамино прямоугольник, без перекрытий и зазоров.

Поскольку каждая из 12 фигур включает в себя 5 квадратов, то прямоугольник должен быть площадью 60 единичных квадратов. Возможны прямоугольники 6×10, 5×12, 4×15 и 3×20. Существует ровно 2339 различных укладок пентамино в прямоугольник 6×10, а вот вариантов прямоугольника 3х20 всего 2.

Известно, что из нескольких тысяч различных способов составления данного прямоугольника (фигуры, переходящие друг в друга при отражении или повороте, не считаются разными), только два удовлетворяют поставленному условию (во всяком случае, другие неизвестны). Второе решение замечательно тем, что прямоугольник можно разделить по внутренним линиям на две равные части.

Игра в пентамино

  • В пентамино можно играть и вдвоем. двое игроков по очереди выбирают любую из 12 фигурок пентамино и располагают ее на свободных клетках поля 8 х 8.
  • Проигрывает тот, кто первым не сможет разместить на доске ни одного пентамино. Если же все фигурки удалось разместить на доске, то выигрывает ходивший последним.
  • С конца 1980-х годов неоднократно выходили различные компьютерные игры, основанные на Пентамино. Наиболее известная — основанная на идее тетриса игра.

Из фигурок пентамино можно сложить паркет.

  • Весь собранный нами материал, на наш взгляд, интересный и может быть использован на дополнительных уроках по математике в 4-8классах.
  • «Пентамино» – очень увлекательная игра, которая развивает логическое мышление.
  • Мы решали задачи, предложенные любителями полимино.

  • Сегодня полимино переживает очередной пик популярности во всем мире,к тому же открыты новые направления полимино и области его применения. Так, математики используют основы и принципы полимино для решения конкурсных задач, а дизайнеры увидели в полимино возможность для создания шедевров в оформлении помещений и паркета. Для психологов полимино – это одно из направлений арттерапии, так как полимино в состоянии воздействовать на эмоциональную сферу человека.

Список использованной литературы

  • Кордемский Б.А., Русалев Н.В. «Удивительный квадрат», Москва, 1994, «Столетие»;
  • Кордемский Б.А., «Математическая смекалка», «Манускрипт», Санкт-Петербург, 1994.
  • Перельман Я.И., «Занимательная геометрия», издательство «АСТ», Москва 2003.
  • В презентации использовались картинки из Интернета.

Можно сложить из фигурок буквы.

Немного о тетрисе

  • С конца 1980-х годов неоднократно выходили различные компьютерные игры, основанные на Пентамино. Наиболее известная — основанная на идее тетриса игра пентикс (Pentix). Один из новейших примеров — игра Dwice, которую разработал в 2006 году изобретатель Тетриса Алексей Пажитнов.
  • Интерес к фигурам домино , тримино , тетрамино и пентамино в СССР возник благодаря книге С. В. Голомба

Составление квадратов и прямоугольников

  • Однако у тетрамино есть другое интересное свойство. Из некоторых элементов пентамино (а именно всех, за исключением I, T, X, V) в сочетании с полным набором тетрамино можно составить квадрат 5×5. Вот два таких построения:

Ссылка на основную публикацию